奇扰动非局域反应扩散系统

一、THE SINGULARLY PERTURBED NONLOCAL REACTION DIFFUSION SYSTEM（论文文献综述）

夏亚荣^[1]（2017）在《若干非线性系统的对称，守恒律及求解》文中指出本文以对称理论为工具,研究了若干非线性系统的非局部对称,条件Lie-Backlund对称及近似条件Lie-Backlund对称,以伴随方程方法及相关理论为基础,研究了几类非线性系统的守恒律.主要内容如下:第一章作为绪论部分,重点介绍了对称性理论,守恒律及近似对称的背景与发展现状,并阐明了本文的主要工作.第二章研究了几类非线性系统的非局部对称及其相互作用解.首先,利用截断的Painleve分析法得到了（2+1）维非色散长波方程组（DLW）,高阶Broer-Kaup（HBK）方程组的非局部留数对称,并通过引入新的因变量将非局部对称局部化为新的封闭系统的Lie点对称.其次,证明了 DLW系统,HBK系统,修正的色散长波方程组（MDWW）的相容Riccati展开（CRE）及相容tanh函数展开（CTE）可解性,构造了这些方程新的精确解,如单孤子解,多共振孤子解及孤立子与椭圆周期波解相互作用解等,同时给出了相关解的图像,用于更好的理解、研究解的性质.第三章研究了修正的Boussinesq方程组,HBK方程组,MDWW方程组及（2+1）维DLW方程组的Lie对称分析,并给出了修正的Boussinesq方程组及HBK方程组的最优系统,证明了以上几类方程组的非线性自伴随性,通过对方程组自伴随性的讨论把伴随方程化成了与原方程等价的方程组.最后,利用方程组的自伴随性,Lie点对称及Ibragimov定理获得了以上方程组的无穷多守恒律.第四章利用条件Lie-Backlund对称方法研究了非线性反应扩散方程组,在给定方程组允许的条件Lie-Backlund对称的情况下,给出了方程组的完全分类,得到了方程组允许的不变子空间等价于方程组的高阶Lie-Backlund对称,并通过具体的例子构造方程组定义在多项式,三角函数及指数函数类型的不变子空间上的广义分离变量解.第五章将条件Lie-Backlund对称和不变子空间方法推广到了扰动方程的情形.首先,提出了扰动不变子空间的概念.其次,利用近似广义条件对称及扰动的不变子空间方法研究了带弱源项的反应扩散方程的近似广义泛函变量分离解,给出了允许近似广义条件对称的方程的完全分类.最后,通过具体的例子构造了分类方程的近似广义泛函变量分离解.第六章对本文的工作进行了总结和讨论,并对今后的研究工作做了展望.

赵典^[2]（2011）在《广义非线性薛定谔方程描述的调制不稳定性、湍流、坍缩和逆级联》文中研究说明在本论文中,我们主要研究了波场的调制、凝聚和坍缩,以及湍流现象。我们使用两维的复数非线性薛定谔方程（CNLSE）或复数金斯伯格一朗道方程（CNLGLE）来描述整个过程。CNLSE或CNLGLE现在广泛应用于物理、化学、生物、社会学和金融等领域,是描述非线性现象的一个经典范例方程。在等离子体物理学中,非线性薛定谔方程（NLSE）首先是用来描述由较低频的离子声波引起的不稳定的等离子体波。由大幅度等离子体波产生的有质动力会增强离子声波,而后者则会反过来调制和增强等离子体波,整个自洽的互作用过程被称作为调制不稳定性。在等离子体中,特别是磁化的等离子体中,存在许多高频和低频的波,所以调制不稳定性会经常出现。Zakharov在1973年首次发现当用NLSE来描述等离子和离子声波的互作用过程时,会产生一个数学上的奇点：局域的波能量随着波场体积趋近于零而变得无穷大,这就是波坍缩现象。随后数十年来人们开展了许多关于NLSE和相关方程的研究工作。然而,直到现在还没有人对从调制不稳定性到等离子体波坍缩之后的湍流整个过程进行研究。本文中,我们使用广义的NLSE来研究整个过程。我们允许方程中的系数为复数,来考虑系统中线性和非线性耗散对调制不稳定性和波坍缩的影响。由于这个推广,所产生的复数的NLSE（CNLSE）类似于CNLGLE,也可以用来描述很多领域内的物理问题。我们数值解两维的CNLSE,给定不同的参量值和初始条件,看到调制不稳定性能够导致湍流。发现有两种演变方式形成湍流。一种是没有坍缩现象的出现,所导致的湍流态相对光滑。另一种有坍缩,然后导致一个尖刻的湍流态。两种结果所采用的条件和整个过程在文中都有具体的讨论。很显然,可能还存在其它的方式能够导致其它不同类型的湍流或者是自组织相干结构。这些大家感兴趣的问题,其中的过程大多都可以使用CNLSE来描述,所以值得我们进行更深入的研究。

刘汉泽^[3]（2009）在《基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究》文中指出偏微分方程又称数学物理方程,它来源于物理学、力学等自然科学及工程技术中所提出并建立的数学模型。早期的偏微分方程有根据牛顿引力理论推导出的描述引力势的拉普拉斯（Laplace）方程和泊松（Poisson）方程,还有描述波的传播的波动方程（wave equation）,描述传热和扩散现象的热传导方程（heat equation）等,这些都是古典的偏微分方程。这些方程在偏微分方程理论的发展中发挥了重要的作用,时至今日,它们仍然是偏微分方程的基础和必学内容之一。自19世纪开始,随着工业革命的兴起和科学技术的发展,相继出现了大量新的偏微分方程,其中最基本的有描述电磁场变化的麦克斯韦方程（组）,描述微观粒子的薛定谔方程,以及爱因斯坦方程、杨-米尔斯方程、反应扩散方程等等。随着现代科学和技术的进步,还将会不断涌现出新的越来越多的偏微分方程,尤其是非线性的偏微分方程或方程组。其中,非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文以李（S.Lie）对称分析为基础和工具,综合运用动力系统的分支理论与方法、潘勒维尔（Painleve）分析、幂级数法（含推广的幂级数法）、待定系数法以及一些特殊的技巧与方法,研究偏微分方程的精确解及其相关的方程与解的性质。具体而言,即首先运用李对称分析得到方程的向量场或对称,然后利用相似约化将所研究的（非线性）偏微分方程化为常微分方程。这一步对方程而言可以说实现了实质性的转化,即把一个复杂的偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的偏微分方程转化为一个常微分方程。接下来的工作就是研究这个常微分方程的解,求出了常微分方程的解,也就相应地得到了偏微分方程的解。这就是利用对称分析研究偏微分方程精确解的基本思路。当然,对称分析的作用远不止此,它与系统的可积性的研究还有着密切的关系,对称是系统本质属性的一种描述和刻画,它在偏微分方程与可积系统的研究中有着重要的意义与作用。这些我们将在研究偏微分方程精确解的同时一并加以介绍。至于如何研究约化得到的常微分方程,则主要涉及常微分方程与动力系统的理论与方法、幂级数法以及一些特殊的技巧与方法。本文的主要内容如下：第一章绪论。本章介绍了非线性科学的主要内容以及发展现状,综述了偏微分方程,尤其是非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的主要成果。其中重点介绍了偏微分方程研究的主要方法,特别是对称分析在研究偏微分方程中的意义与作用。概括而言,这些方法各有特点,也都有各自的适用范围,都在特定的时期、特定的条件和各自的范围内发挥了应有的作用。有的方法可以说长盛不衰,历久弥新,至今还有强大的生命力,在偏微分方程的研究中仍然发挥着重要的作用。当然,任何一种方法都不是万能的,不会也不可能指望用一种方法解决所有的问题。本章的出发点是对各种主要的方法加以总结回顾,目的不是评判哪种方法的优劣,而是通过比较和总结,更好地继承和发扬其中蕴含的优秀的思想方法,从过去经典的思想与方法中汲取营养,更好地面向未来,进一步更深入地开展对现代偏微分方程及相关非线性科学的研究。第二章理论准备。在这一章,列举了本文所涉及的一些相关知识,如李群与李代数、对称与向量场、向量场的延拓、Painleve分析简介、动力系统的分支理论与方法以及雅可比（Jacobi）椭圆函数等。限于篇幅,有些内容只列出主要概念与结论,详细内容可查阅后面的相关参考文献,此处不展开叙述。单列本章的目的是考虑到李群与对称分析的相关理论与知识比较多,通过本章,对有关的理论知识有所了解,便于后面的具体运用。第三章基于李对称分析,研究了一般的Burgers’方程。该方程是一个既有非线性项又有二阶偏导项的非线性波方程,在理论和实践中有广泛的应用价值。它在一定条件下存在不同类型的孤波解,如冲击（震荡）波、稀疏波等。在流体力学、空气动力学的许多波动问题的研究中都要用到这个方程。例如在流体力学模型方程中,有线性Burgers’方程ut+aux=μuxx和非线性Burgers’方程ut+[f（u）]x=μuxx。当f（u）=1/2u2时,后者即为ut+uux=μuxx。在一定的初、边值条件下,可以得到这两类Burgers’方程的精确解,从而了解系统相应的流体力学性质。另外,Burgers’方程和许多重要的数学物理方程有着密切的联系,在非线性科学、流体力学以及工程技术中起着重要的基础性作用。在对称分析的基础上,首先求出了方程的群不变解以及任意次的迭代解。然后,利用对称约化将原方程化为各种形式的常微分方程,进而求出方程的精确解。其中应用了幂级数法（Power series method）,得到了非线性、非自治的常微分方程严格的幂级数解,从而也就得到了相应的Burgers’方程的精确解,其中包含了不少新的显式精确解。第四章研究推广的mKdV方程,众所周知,KdV方程是非常着名的浅水波方程,它起源于对水波问题的研究,KdV型方程可以描述各种浅水波的运动,在流体力学中有着广泛的应用。特别地,对于修正的KdV型方程,最近的研究发现可用于描述宇宙环境中超新星周围以及土星环的尘埃离子的波动规律,对于天体力学和大气物理的研究有着重要的意义。首先,通过对称分析得到了它的向量场。然后,由一般到特殊地得到了一些特殊而经典的KdV、mKdV方程的向量场。接下来,通过对称约化将推广的mKdV方程化为常微分方程,为下一步求解作准备。本章的一个亮点是运用了动力系统的分支理论与方法,详细全面地得到了推广的mKdV方程的显式精确解,包括幂级数解,同时还研究了系统的动力学性质。第五章研究了一类短脉冲方程的精确解。短脉冲方程也是一类非常重要的非线性波方程,可以描述一些比较特殊的波。深入研究这类方程及其各种孤波解,对于了解一些特殊的波动问题具有重要意义。同时,该方程是一个重要的非线性数学物理方程,它在工程技术以及物理学、力学的许多领域都有重要应用。此方程不同于一般的非线性演化型方程,而是一个混合型的偏微分方程,这给对称分析带来了一定的困难。本章分别运用延拓法与待定系数法,得到了该方程的所有对称。其次,本章的另一特色是在运用动力系统的分支理论与方法研究方程的精确解时,引入了参数表示法,从而圆满地解决了解的显式表示问题。本章获得的这类短脉冲方程的精确解,都是用通常的方法难以得到的。第六章研究了一类变系数债券方程。变系数偏微分方程最初主要来源于数学物理问题及大量的工程技术问题,但是,随着社会的进步和现代科学技术的不断发展,在各种经济社会领域、生物化学与环保领域、通讯信息与金融证券等领域,由于实际的需要也提出了越来越多的偏微分方程,这些方程一般形式复杂,且常常是变系数的。本章研究的变系数方程在金融数学与金融工程中经常用到,尤其是在期权定价问题的研究中,这类偏微分方程发挥着日益重要的作用。偏微分方程理论与现代经济、金融研究相结合,正成为一种重要的发展趋势。首先,对两个具体的变系数债券方程进行了对称分析,分别得出了它们的向量场。然后,又分别求出了它们的单参数群与群不变解。第三,利用相似变换分别将它们约化为常微分方程。第四,进一步求出它们的精确解。本章在内容上与前几章的主要不同之处在于,一是对称分析,由于所研究的方程是变系数的,因此,对称分析要比常系数方程复杂得多。二是在求精确解时除了幂级数法之外,还用了待定系数法等一些特殊方法,从而得到了方程的显式精确解,收到了较好的效果。三是在本章最后,我们还就一般形式的变系数债券方程进行了讨论,得出了它的对称及相应的精确解。第七章研究了三个非线性演化方程。这类方程在非线性科学与工程技术中有着重要的意义与作用,是许多波动问题和力学问题的重要理论模型,在生物数学等领域也有着重要的应用。首先运用Painleve分析得到了它们的Painleve性质,以及相应的Backlund变换、截断展开式等。然后再通过对称分析,分别得到了它们的对称,并通过比较分析了Painleve分析与对称分析的异同。接着研究它们的精确解,除了基于对称分析的精确解,我们还得到了方程的基于Painleve截断展开的精确解。这些解的获得,是单独用任何一种方法所不可能得到的,这也说明了二者结合的意义和作用。另外,通过本章的研究可以发现,对于有些即使是不可积的方程,我们仍然可以利用对称分析与Painleve分析研究它们的精确解。我们知道,在可积系统的研究中,Painleve分析的主要作用是判断系统的可积性,但通过本章可以发现它还可以用于方程求解的研究。对称分析更是如此,无论是否可积,都可以通过对称分析研究方程的精确解。总之,本文研究的对象是偏微分方程,包括各种非线性的、变系数的方程。主要目的是求出方程的解,尤其是显式的精确解。所以,本文所采用的方法与工具与一般孤子与可积系统的研究有所不同,结果也不一样,可以说各有侧重。限于论文的主题,尽管系统的对称与可积性如守恒律（CL）、Backlund变换等有着密切的联系,但对系统的可积性不作过多的讨论,目的是使论文主题更突出。另外,这些方程都是重要的数学物理方程,深入研究这些方程的解及其相关性质,如Painleve性质、可积性以及各种形式的解,尤其是各种显式精确解,对于了解系统所描述的具体问题的性质与规律,有着重要的意义与作用。最后,在总结与展望中,首先概述了本文所获得的主要研究成果；然后,总结归纳了本文的主要创新点；最后,提出了围绕偏微分方程精确解的研究有待于进一步研究与思考的方向和问题。

冯大河^[4]（2007）在《非线性波方程的精确解与分支问题研究》文中研究说明非线性波方程是描述自然现象的一类重要数学模型,也是非线性数学物理特别是孤立子理论最前沿的研究课题之一。通过对非线性波方程的求解和定性分析的研究,有助于人们弄清系统在非线性作用下的运动变化规律,合理解释相关的自然现象,更加深刻地描述系统的本质特征,极大地推动相关学科如物理学、力学、应用数学以及工程技术的发展。本文从动力系统分支理论的角度来研究非线性波方程的精确行波解、行波解的分支及其动力学行为。首先,在现有求解非线性波方程的主要方法的基础上,对非线性波方程的精确解求解方法进行了研究,利用动力系统分支理论方法改进了求解非线性波方程精确解的一种子方程法,并用于求解几类重要的非线性数学物理方程,获得了一系列新的结果。其次,以动力系统分支理论和奇异摄动理论为研究工具,研究了几类源于实际物理问题的非线性波方程的行波解的定性行为,揭示了这些非线性模型中蕴涵的丰富的动力学性质,获得了奇异同宿轨道的动力学性质,分析并解释了这些复杂行波解产生的原因,丰富和发展了李继彬教授提出的研究奇异非线性波方程的动力系统方法一三步法。本文主要研究工作如下:第一章是绪言,综述了非线性波方程的发展历史、研究现状、主要研究方法以及取得的成果,介绍了近年来非光滑波的发现、相应的研究方法及其最新研究进展,指出了非线性波方程与动力系统之间的联系以及运用动力系统相关理论研究非线性波方程的现状。本章最后介绍了李继彬教授提出的研究非线性波方程的“三步法”的主要理论和结果以及其它预备知识。第二章通过改进范恩贵教授提出的求解非线性波方程的一种子方程法,研究了Sawada-Kotera方程的求解问题。该子方程法通过在复杂非线性方程与相对简单的一个子方程之间巧妙地构造一个多项式变换,把求解非线性波方程的问题转化为求解子方程。因此如何获得子方程的更多的精确解成为该方法的关键步骤。本文利用动力系统分支理论研究了一般形式的子方程,提出了改进的子方程法,并将之应用于求解Sawada-Kotera方程,获得了Sawada-Kotern方程的大量新精确解,如多峰孤立波解,多峰周期行波解等。特别地,在所获得的精确解中所含参数都与方程的系统参数无关,因此,让这些参数取不同的值,相应的解便会呈现十分丰富的动力学行为。利用这种改进的方法求解非线性波方程的优越之处在于,我们不仅可以获得一般形式的子方程的所有精确解（为节省篇幅,本文主要给出了它们的所有孤立波解和扭波解、部分的有理解和周期行波解）,而且还能获悉每一个解的动力学性质及其满足的参数条件,这充分显示了利用动力系统分支理论改进的方法在研究非线性波方程精确解方面的优越性和有效性。第三章利用“三步法”研究了一类正则长波方程即R（m,n）方程的行波解。利用时间尺度变换,把R（m,n）方程的奇异行波系统转化为一个正则动力系统,在运用经典的动力系统分支理论研究正则系统的轨道的定性行为的基础上,利用正则系统与奇异系统之间的联系以及奇异摄动理论知识获得了R（m,n）方程行波解的定性信息,解释了该方程非光滑行波解产生的原因,并证明了正则系统的奇异同宿轨道对应的解是R（m,n）方程的光滑周期行波解而不是孤立波解。第四章研究了一类非线性耗散项和非线性色散项共存的n+1维Klein-Gordon方程,讨论了非线性耗散强度、非线性色散强度和非线性强度效应的共同作用对系统的影响,这种影响主要表现在解的动力学性质对这些非线性强度的依赖性。强调了奇异直线的存在是导致系统出现非光滑的周期尖波、孤立尖波和破缺波的根本原因,获得了各种光滑波和非光滑波存在的充分条件。奇异系统与正则系统具有不同的时间尺度,从而导致两系统某些对应轨道有着完全不同的动力学性质,比如,与正则系统的奇异同宿轨道相对应的奇异系统的轨道可能是其周期轨道也可能仍是同宿轨道,奇异系统的这两种不同的轨道对应的是原Klein-Gordon方程具有完全不同动力学性质的解:周期轨道对应着光滑的周期行波解而同宿轨道对应着光滑的孤立波解。然而如何判定奇异同宿轨道是奇异系统的周期轨道还是同宿轨道?这又依赖于非线性耗散强度和非线性色散强度。这些现象充分反映了非线性耗散强度、非线性色散强度以及非线性强度效应的共同作用对系统的本质影响,也充分展示了奇异非线性波系统的魅力。本文利用奇异摄动理论解释了正则系统与奇异系统之间对应轨道具有不同动力学行为这一奇妙现象,对其给予了严格的数学证明并给出了判定轨道性质的具体方法,丰富和发展了研究非线性波方程的动力系统方法一三步法。第五章研究了两类变形的2+1维Boussinesq型方程（正指数Boussinesq方程和负指数Boussinesq方程）的行波解的定性行为。由于它们的行波系统都具有奇性,因此我们借助微分方程定性理论研究了对应的正则系统,获得了正则系统所有有界轨道的定性性质,进而分析了这两类方程光滑行波解和非光滑行波解产生的分支参数条件,获得了各种有界行波解存在的充分条件。特别地,对于负指数Boussinesq方程的行波系统而言,其正则系统的所有光滑轨道都对应着奇异系统的光滑轨道,正则系统的奇异同宿轨道和异宿轨道也分别对应着奇异系统的同宿轨道和异宿轨道（即负指数Boussinesq方程的光滑孤立波解和扭波解）,从而得到了负指数Boussinesq方程在一定的参数条件下不可数无穷多个光滑孤立波解的存在性。对于负指数Boussinesq方程来说,奇性并没有导致非光滑行波解的出现,这说明奇异直线的存在只是使奇异系统有非光滑解存在的可能性,但并不必然导致系统出现非光滑解。也就是说,奇异行波系统不一定存在非光滑的行波解。第六章对本文的工作进行了总结,提出了有待进一步研究的问题。

邓敏艺^[5]（2000）在《用格子Boltzmann方法研究反应扩散问题》文中进行了进一步梳理CA（Cellula Automaton）和LBM（Lattice Boltzmann Method）是探索非线性复杂系统的有效工具。首先综述了研究反应扩散问题的CA方法和LBM方法，然后提出采用以分布函数作反应项自变量的LBM来研究反应扩散问题，这种情况下反应项表达为 兄（人）：∑M；（J·，／）ir（卢，／，／）+∑A／乙(r，，．／，Al尤（卢，／，J）人（F，A，／） r，．／ 9，／，，／，A ， +’∑《几q(J，，／，七，／诉（尹，／，／）人（尸，七，／）人（卢，／，J）+… ，．p,q,j,k，／S’----9，g，厂+·表示所有参加反应并影响s粒子密度的粒子（包括s粒子），Ms，Ns，Ps表示反应碰撞矩阵，由参加反应的粒子种类及粒子速度决定。在近平衡状态下，我们证明上式可以恢复到S．P．Dawson等人提出的以参加反应的粒子的密度为自变量的反应项Rs，（Ps）。 我们主要研究无对流情况（即流速为零）反应扩散问题的LBM方法，因此我们的研究仍采用S．P．Dawson等人的反应项形式。首先建立一维反应扩散方程的LBM，所用的格子模型为一维三速格子模型。采用多尺度方法由格子Boltzmann方程推导出一维反应扩散方程： 9，夕，一0，日：9，二天，（夕）s粒子的扩散系数0，：号（1—0．5）．对一维的Schlǒgl、Lotka-Volterra、Selkov、Brusselator四种反应的反应扩散方程进行线性稳定性分析，从理论上得出系统偏离平衡态时出现时空结构如极限环振荡，定态耗散结构等现象的控制参数范围，并根据控制参数进行了LBM法的计算机模拟。将模拟结果与线性稳定性分析的预定结果进行定量分析，证明了LBM方法研究反应扩散问题的可行性。接着研究了二维反应扩散方程的LBM。在五速四方格子下推导出二维反应扩散方程，此时s粒子的扩散系数为0，二号（1—0．5）．分别采用七速六方格子和五速四方格子对二维下的Schlǒgl、Lotka-Volterra、Selkov、Brusselator四种反应模型进行了LBM法的计算机演化模拟，并对模拟结果进行定量分析。为减少边界效应对模拟结的影响，模拟时采用周期性边界条件。模拟中发现忽略逆反应时模拟结果就出现较人偏差，我们得到LBM只适用于近平衡反应扩散系统的结论。

漆安慎,王心宜^[6]（1985）在《非线性扩散系统的波动现象》文中进行了进一步梳理在远离平衡的开放系统中,存在着一大类波动的现象。这种在耗散背景下稳定的波动往往是时空有序的重要形式。对这类现象的描述依赖于对相应反应扩散方程的深入研究。在过去十几年中,这方面的研究工作取得了相当可观的进展,并已成为应用数学家,物理学家、化学家、生物学家共同感兴趣的领域。本文评述了近年来对反应扩散系统中几种常见波的研究。

二、THE SINGULARLY PERTURBED NONLOCAL REACTION DIFFUSION SYSTEM（论文开题报告）

（1）论文研究背景及目的

此处内容要求：

首先简单简介论文所研究问题的基本概念和背景，再而简单明了地指出论文所要研究解决的具体问题，并提出你的论文准备的观点或解决方法。

写法范例：

本文主要提出一款精简64位RISC处理器存储管理单元结构并详细分析其设计过程。在该MMU结构中,TLB采用叁个分离的TLB,TLB采用基于内容查找的相联存储器并行查找,支持粗粒度为64KB和细粒度为4KB两种页面大小,采用多级分层页表结构映射地址空间,并详细论述了四级页表转换过程,TLB结构组织等。该MMU结构将作为该处理器存储系统实现的一个重要组成部分。

（2）本文研究方法

调查法：该方法是有目的、有系统的搜集有关研究对象的具体信息。

观察法：用自己的感官和辅助工具直接观察研究对象从而得到有关信息。

实验法：通过主支变革、控制研究对象来发现与确认事物间的因果关系。

文献研究法：通过调查文献来获得资料，从而全面的、正确的了解掌握研究方法。

实证研究法：依据现有的科学理论和实践的需要提出设计。

定性分析法：对研究对象进行“质”的方面的研究，这个方法需要计算的数据较少。

定量分析法：通过具体的数字，使人们对研究对象的认识进一步精确化。

跨学科研究法：运用多学科的理论、方法和成果从整体上对某一课题进行研究。

功能分析法：这是社会科学用来分析社会现象的一种方法，从某一功能出发研究多个方面的影响。

模拟法：通过创设一个与原型相似的模型来间接研究原型某种特性的一种形容方法。

三、THE SINGULARLY PERTURBED NONLOCAL REACTION DIFFUSION SYSTEM（论文提纲范文）

（1）若干非线性系统的对称，守恒律及求解（论文提纲范文）

（2）广义非线性薛定谔方程描述的调制不稳定性、湍流、坍缩和逆级联（论文提纲范文）

（3）基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究（论文提纲范文）

（4）非线性波方程的精确解与分支问题研究（论文提纲范文）

（5）用格子Boltzmann方法研究反应扩散问题（论文提纲范文）

四、THE SINGULARLY PERTURBED NONLOCAL REACTION DIFFUSION SYSTEM（论文参考文献）

• [1]若干非线性系统的对称，守恒律及求解[D]. 夏亚荣. 西北大学, 2017(03)
• [2]广义非线性薛定谔方程描述的调制不稳定性、湍流、坍缩和逆级联[D]. 赵典. 浙江大学, 2011(08)
• [3]基于李对称分析的偏微分方程精确解的研究[D]. 刘汉泽. 昆明理工大学, 2009(12)
• [4]非线性波方程的精确解与分支问题研究[D]. 冯大河. 昆明理工大学, 2007(09)
• [5]用格子Boltzmann方法研究反应扩散问题[D]. 邓敏艺. 广西师范大学, 2000(01)
• [6]非线性扩散系统的波动现象[J]. 漆安慎,王心宜. 物理学进展, 1985(03)

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